viernes, 13 de agosto de 2010

El problema del número de colores necesarios

Stephen Barr cuenta el caso del pintor que deseaba realizar sobre un gran lienzo la obra abstracta cuyo boceto se muestra arriba. Al fin se decidió a utilizar tal solo cuatro colores; cada región habría que quedar pintada de un solo color sólido, y de tal modo que hubiera colores distintos a cada lado de cada segmento común a dos regiones.

1. ¿Tiene solución el problema? En ese caso, ¿cuál es? y
2. ¿hay soluciones distintas?
3. Si no tiene solución explique por qué.

Ahora…Supongamos que deseamos colorear el mapa que sigue de modo que no haya dos regiones fronterizas del mismo color.
4. ¿Cuántos colores son necesarios?

lunes, 9 de agosto de 2010

El triángulo de Sierpinski

Este conjunto recibe su nombre de Waclaw Sierpinski quien lo expuso en 1915 con la intención de mostrar que una curva puede cortarse consigo misma en todos sus puntos! Éste junto con el conjunto de Cantor son dos ejemplos importantes para iniciar el estudio de algunas propiedades geométricas y topológicas importantes.

  1. Responda las mismas preguntas que antes!

  2. ¿Qué otro conjunto similar podría describir usted?

viernes, 6 de agosto de 2010

El Conjunto de Cantor

Este conjunto, que describiremos recursivamente, tiene propiedades mátricas muy interesantes. Es además, uno de los fractales más curiosos. Veamos...
Consideremos a un segmento de longitud x. Omitamos de éste el tercio central, y repitamos este proceso en cada uno de los segmentos resultantes. Y así hasta el infinito....!
Pensemos entonces...
  1. ¿Es este conjunto, llamémosle C, vacío? Si no es así, cuántos puntos tiene.
  2. ¿Cómo es el gráfico de este conjunto (al infinito)?
  3. ¿Cuál es su medida?
  4. ¿Tiene puntos de acumulación (aislados)?
  5. ¿C es abierto (cerrado)?

A ver a ver... quién tiene las respuestas?