El Hotel de Hilbert

Partamos de un supuesto ilógico... Considerremos que hay un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel que contiene infinitas habitaciones. Justo el Hotel de Hilbert (en honor al gran matemático creador del problema).
Estas habitaciones están enumeradas, correspondiéndole a cada una un número natural.
Así, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera.
Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. De hecho, siempre deben ocuparse por una única persona -así son las reglas de este maravilloso hotel. Poco después de la medianoche llega al hotel un señor de un viaje muy largo. Sin embargo, el chico de la recepción mira su pantalla táctil y le dice: “señor lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible. Todas las habitaciones están ocupadas”.
El trasnochado señor -impresionado- le pregunta:

–No puede ser!... ¿acaso no tienen ustedes infinitas habitaciones?
–Sí –responde el empleado del hotel.
–Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles?
–Pero están todas ocupadas.
–Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al
problema, lo ayudo yo.
Y acá conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la del chico,
o sea que “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre
alguna solución?
Acá va:
–Vea –continuó el pasajero–. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y
dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya
a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así, siguiendo. De esta forma, toda perso-
na seguirá teniendo una habitación que no compartirá con nadie (tal como era antes),
pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1.
El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el pro-
blema se solucionó.
Ahora bien: algunos problemas más:
(a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el pro-
blema?
(b) ¿Y si en lugar de dos, llegan 100?
(c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan “n” pasajeros inesperadamente
durante la noche (donde “n” es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el
problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una
pieza para dormir? ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso?
(d) ¡Tiene solución el problema si llegan n grupos de infinitas personas cada uno?
(e) ¡Y si llegan infinitos grupos de infinitas personas cada uno? Deja tus comentarios!!