La botella de Klein

El problema del número de colores necesarios

Stephen Barr cuenta el caso del pintor que deseaba realizar sobre un gran lienzo la obra abstracta cuyo boceto se muestra arriba. Al fin se decidió a utilizar tal solo cuatro colores; cada región habría que quedar pintada de un solo color sólido, y de tal modo que hubiera colores distintos a cada lado de cada segmento común a dos regiones.

1. ¿Tiene solución el problema? En ese caso, ¿cuál es? y

2. ¿hay soluciones distintas?
3. Si no tiene solución explique por qué.

Ahora…Supongamos que deseamos colorear el mapa que sigue de modo que no haya dos regiones fronterizas del mismo color.

4. ¿Cuántos colores son necesarios?

El triángulo de Sierpinski

Este conjunto recibe su nombre de Waclaw Sierpinski quien lo expuso en 1915 con la intención de mostrar que una curva puede cortarse consigo misma en todos sus puntos! Éste junto con el conjunto de Cantor son dos ejemplos importantes para iniciar el estudio de algunas propiedades geométricas y topológicas importantes.

1. Responda las mismas preguntas que antes!


2. ¿Qué otro conjunto similar podría describir usted?

El Conjunto de Cantor

Este conjunto, que describiremos recursivamente, tiene propiedades mátricas muy interesantes. Es además, uno de los fractales más curiosos. Veamos...
Consideremos a un segmento de longitud x. Omitamos de éste el tercio central, y repitamos este proceso en cada uno de los segmentos resultantes. Y así hasta el infinito....!
Pensemos entonces...

1. ¿Es este conjunto, llamémosle C, vacío? Si no es así, cuántos puntos tiene.
2. ¿Cómo es el gráfico de este conjunto (al infinito)?
3. ¿Cuál es su medida?
4. ¿Tiene puntos de acumulación (aislados)?
5. ¿C es abierto (cerrado)?

A ver a ver... quién tiene las respuestas?

El Hotel de Hilbert

Partamos de un supuesto ilógico... Considerremos que hay un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel que contiene infinitas habitaciones. Justo el Hotel de Hilbert (en honor al gran matemático creador del problema).
Estas habitaciones están enumeradas, correspondiéndole a cada una un número natural.
Así, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera.
Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. De hecho, siempre deben ocuparse por una única persona -así son las reglas de este maravilloso hotel. Poco después de la medianoche llega al hotel un señor de un viaje muy largo. Sin embargo, el chico de la recepción mira su pantalla táctil y le dice: “señor lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible. Todas las habitaciones están ocupadas”.
El trasnochado señor -impresionado- le pregunta:

–No puede ser!... ¿acaso no tienen ustedes infinitas habitaciones?
–Sí –responde el empleado del hotel.
–Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles?
–Pero están todas ocupadas.
–Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al
problema, lo ayudo yo.
Y acá conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la del chico,
o sea que “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre
alguna solución?
Acá va:
–Vea –continuó el pasajero–. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y
dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya
a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así, siguiendo. De esta forma, toda perso-
na seguirá teniendo una habitación que no compartirá con nadie (tal como era antes),
pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1.
El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el pro-
blema se solucionó.
Ahora bien: algunos problemas más:
(a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el pro-
blema?
(b) ¿Y si en lugar de dos, llegan 100?
(c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan “n” pasajeros inesperadamente
durante la noche (donde “n” es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el
problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una
pieza para dormir? ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso?
(d) ¡Tiene solución el problema si llegan n grupos de infinitas personas cada uno?
(e) ¡Y si llegan infinitos grupos de infinitas personas cada uno? Deja tus comentarios!!

¿es Q enumerable?

Uno de los problemas de la semana 1, ya discutidas las ideas de la equipotencia entre N y Z, así como entre otros conjuntos que estudiamos (lo cual rompió con algunos malentendidos al respecto y además nos sumergieron en la compleja reflexión sobre el infinito), es precisamente la equipotencia entre N y Q!! Es decir, aún cuando ciertas ideas o preconcepciones nos lleven a pensar lo contrario... N y Q tienen la misma cantidad de elementos!!
En nuestra semana 1 algunos grupos de trabajo tuvieron ideas interesantes... aunque solo debían resolver unos detalles...
Una sugerencia adicional puede ser la siguiente.
Considere la definición alternativa:

Definición (Alternativa): Un conjunto A es enumerable si y solo si todos sus elementos se pueden poner en una lista infinita, es decir,

si A = {a0, a1, a2, . . .}

en otras palabras, si existe una sucesión infinita

(a0, a1, a2, . . . , an, an+1, . . .)

tal que todos los elementos de A aparecen en la sucesión una única vez cada uno. Observe que si tal sucesión existe, entonces es fácil establecer la biyección entre N y Q:

f(n) = an.

Entonces, pensando en esta definición alternativa pudieran tratar de listar todos los racionales sin que haya repeticiones... este reto es para todos!! Pueden dejar sus comentarios!

Lista de documentos

Análisis - plan
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjNzhiZjE4MWMtNGZlMS00ZmQ1LTkyZDItOTBiOTJhMGZlNjAz&hl=en
GEL - plan
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjMWViZDM2ODMtZTEyNS00YjJmLTg3NmMtYzRhNDllMDkxMGVh&hl=en
GEL - guías
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjN2IyN2VlYmEtZDEyNC00YmMyLTg2MTItZDhmYzQ4NTE3MWM0&hl=en
ANA - semana 1
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjZWM1ZDdhNWItOGNlZC00MGJiLWE3ZWQtMDMxYjYyNDMwYTU5&hl=en

ANA - semana 2
ANA - semana 3
ANA - semana 4
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjZGZmN2E3ZjYtYjVkZi00NDc3LTg3NjgtNTMxOGMxNWYxNWEw&hl=enhttps://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjNzA2ZDJlN2MtMGFmMC00NzQ0LWIzYjgtZTlmMjUzM2M3N2I1&hl=enhttps://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjOTFhNDc5Y2MtMjliZC00NmNlLTk5YjMtNTRjNWYxOTc3OGI0&hl=en

ANA - walter rudin (link enviado por Leonard)
http://www.mediafire.com/?wjdxzmzeml2