La botella de Klein

El problema del número de colores necesarios

Stephen Barr cuenta el caso del pintor que deseaba realizar sobre un gran lienzo la obra abstracta cuyo boceto se muestra arriba. Al fin se decidió a utilizar tal solo cuatro colores; cada región habría que quedar pintada de un solo color sólido, y de tal modo que hubiera colores distintos a cada lado de cada segmento común a dos regiones.

1. ¿Tiene solución el problema? En ese caso, ¿cuál es? y

2. ¿hay soluciones distintas?
3. Si no tiene solución explique por qué.

Ahora…Supongamos que deseamos colorear el mapa que sigue de modo que no haya dos regiones fronterizas del mismo color.

4. ¿Cuántos colores son necesarios?

El triángulo de Sierpinski

Este conjunto recibe su nombre de Waclaw Sierpinski quien lo expuso en 1915 con la intención de mostrar que una curva puede cortarse consigo misma en todos sus puntos! Éste junto con el conjunto de Cantor son dos ejemplos importantes para iniciar el estudio de algunas propiedades geométricas y topológicas importantes.

1. Responda las mismas preguntas que antes!


2. ¿Qué otro conjunto similar podría describir usted?

El Conjunto de Cantor

Este conjunto, que describiremos recursivamente, tiene propiedades mátricas muy interesantes. Es además, uno de los fractales más curiosos. Veamos...
Consideremos a un segmento de longitud x. Omitamos de éste el tercio central, y repitamos este proceso en cada uno de los segmentos resultantes. Y así hasta el infinito....!
Pensemos entonces...

1. ¿Es este conjunto, llamémosle C, vacío? Si no es así, cuántos puntos tiene.
2. ¿Cómo es el gráfico de este conjunto (al infinito)?
3. ¿Cuál es su medida?
4. ¿Tiene puntos de acumulación (aislados)?
5. ¿C es abierto (cerrado)?

A ver a ver... quién tiene las respuestas?

El Hotel de Hilbert

Partamos de un supuesto ilógico... Considerremos que hay un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel que contiene infinitas habitaciones. Justo el Hotel de Hilbert (en honor al gran matemático creador del problema).
Estas habitaciones están enumeradas, correspondiéndole a cada una un número natural.
Así, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera.
Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. De hecho, siempre deben ocuparse por una única persona -así son las reglas de este maravilloso hotel. Poco después de la medianoche llega al hotel un señor de un viaje muy largo. Sin embargo, el chico de la recepción mira su pantalla táctil y le dice: “señor lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible. Todas las habitaciones están ocupadas”.
El trasnochado señor -impresionado- le pregunta:

–No puede ser!... ¿acaso no tienen ustedes infinitas habitaciones?
–Sí –responde el empleado del hotel.
–Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles?
–Pero están todas ocupadas.
–Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al
problema, lo ayudo yo.
Y acá conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la del chico,
o sea que “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre
alguna solución?
Acá va:
–Vea –continuó el pasajero–. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y
dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya
a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así, siguiendo. De esta forma, toda perso-
na seguirá teniendo una habitación que no compartirá con nadie (tal como era antes),
pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1.
El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el pro-
blema se solucionó.
Ahora bien: algunos problemas más:
(a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el pro-
blema?
(b) ¿Y si en lugar de dos, llegan 100?
(c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan “n” pasajeros inesperadamente
durante la noche (donde “n” es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el
problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una
pieza para dormir? ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso?
(d) ¡Tiene solución el problema si llegan n grupos de infinitas personas cada uno?
(e) ¡Y si llegan infinitos grupos de infinitas personas cada uno? Deja tus comentarios!!

¿es Q enumerable?

Uno de los problemas de la semana 1, ya discutidas las ideas de la equipotencia entre N y Z, así como entre otros conjuntos que estudiamos (lo cual rompió con algunos malentendidos al respecto y además nos sumergieron en la compleja reflexión sobre el infinito), es precisamente la equipotencia entre N y Q!! Es decir, aún cuando ciertas ideas o preconcepciones nos lleven a pensar lo contrario... N y Q tienen la misma cantidad de elementos!!
En nuestra semana 1 algunos grupos de trabajo tuvieron ideas interesantes... aunque solo debían resolver unos detalles...
Una sugerencia adicional puede ser la siguiente.
Considere la definición alternativa:

Definición (Alternativa): Un conjunto A es enumerable si y solo si todos sus elementos se pueden poner en una lista infinita, es decir,

si A = {a0, a1, a2, . . .}

en otras palabras, si existe una sucesión infinita

(a0, a1, a2, . . . , an, an+1, . . .)

tal que todos los elementos de A aparecen en la sucesión una única vez cada uno. Observe que si tal sucesión existe, entonces es fácil establecer la biyección entre N y Q:

f(n) = an.

Entonces, pensando en esta definición alternativa pudieran tratar de listar todos los racionales sin que haya repeticiones... este reto es para todos!! Pueden dejar sus comentarios!

Lista de documentos

Análisis - plan
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjNzhiZjE4MWMtNGZlMS00ZmQ1LTkyZDItOTBiOTJhMGZlNjAz&hl=en
GEL - plan
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjMWViZDM2ODMtZTEyNS00YjJmLTg3NmMtYzRhNDllMDkxMGVh&hl=en
GEL - guías
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjN2IyN2VlYmEtZDEyNC00YmMyLTg2MTItZDhmYzQ4NTE3MWM0&hl=en
ANA - semana 1
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjZWM1ZDdhNWItOGNlZC00MGJiLWE3ZWQtMDMxYjYyNDMwYTU5&hl=en

ANA - semana 2
ANA - semana 3
ANA - semana 4
https://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjZGZmN2E3ZjYtYjVkZi00NDc3LTg3NjgtNTMxOGMxNWYxNWEw&hl=enhttps://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjNzA2ZDJlN2MtMGFmMC00NzQ0LWIzYjgtZTlmMjUzM2M3N2I1&hl=enhttps://docs.google.com/fileview?id=0B4VsXmbvS2WjOTFhNDc5Y2MtMjliZC00NmNlLTk5YjMtNTRjNWYxOTc3OGI0&hl=en

ANA - walter rudin (link enviado por Leonard)
http://www.mediafire.com/?wjdxzmzeml2

sobre el número de oro

Número Aureo

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Teorema "de" Pitágoras

Resulta curioso que en el papiro Rhind, escrito en Hierático, y que data de unos 1650 años antes de Cristo, contiene lo que hoy se conoce como el Teorema "de" Pitágoras. (ver el problema 56). Este papiro de unos 6m de longitud y 33 cm de anchura, contiene 87 problemas matemáticos (aritmética básica, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica). Fue escrito por el escriba Ahmes, reuniendo en él ideas de otros escritos previos (alrededor de unos 200 años de antigüedad).
Procedencia: Desconocida. En 1860 fue adquirido por Rhind, de allí uno de sus nombres.
Así el Teorema "de" Pitágoras es en realidad una idea previa a la matemática griega.


Problema 56:¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?.
El seqt es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales se utilizaba como unidad de medida el codo y en horizontales la mano o palmo, que equivalía a 1/7 del codo.
La resolución presentada por Ahmes es:

- Calcula 1/2 de 360 que da 180.
- Multiplica 250 hasta obtener 180, que da 1/2 + 1/5 + 1/50.
- Un cubit son 7 palmos. Multiplica ahora 7 por 1/2 + 1/5 + 1/50 que da 5 + 1/25.

Luego el seqt es 5+1/25 palmos por codo. El seqt efectivamente coincide con la cotangente del ángulo, es decir es la pendiente de las caras laterales de la pirámide.

Galois

Évariste Galois sólo tuvo cinco años de actividad científica, la cual se dio paralelamente a su práctica política de ardiente revolucionario en el turbulento París de 1830. A pesar de ser muy buen conocedor de las matemáticas de entonces (a los 16 años de edad), no pudo ingresar a la Escuela Politécnica. Posteriormente, se extravió una memoria que presentó a la Academia en manos de Cauchy, y fue rechazado nuevamente de la Escuela Politécnica. Entre 1829 y 1830 dio a conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, temas de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de números, y un resumen de una segunda memoria presentada ante la Academia para optar al gran premio de matemática –que no obtuvo. Al año siguiente fue expulsado de la Escuela Normal, por estar involucrado en los sucesos políticos. Decidió entonces dedicarse a la educación privada al anunciar un curso de álgebra superior sobre “Una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebra pura”. Este curso no tuvo oyentes. Entonces Galois ingresó al ejército; tiempo en el que culminó una memoria (hoy conocida como Teoría de Galois), calificada de “incomprensible” por Poisson. Estuvo cerca de un año en la cárcel. Al quedar en libertad, se vio envuelto en una disputa por defender el honor de una mujer y murió en el duelo. Esa noche escribió a su amigo Auguste Chevalier: "He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias. Haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo". Ese “embrollo” es hoy la Teoría de Grupos.